Sujet : Pourquoi suffit-il d'un tableau noir et d'une craie pour établir des vérités mathématiques, alors que le physicien a besoin d'oberserver et d'exp?rimenter ? (ou de la nature des vérités mathématiques et physiques)

Définitions des termes :

• pourquoi : Pour quelle raison, quel motif: raison intellectuelle de parler ou d'agir OU pour quel mobile, force irrationnelle qui pousse à parler ou à agir.

• vérité : La vérité concerne l'ordre du discours, et il faut en cela la distinguer de la réalité. Elle se définit traditionnellement comme l'adéquation entre le réel et le discours. Qualité d'une proposition en accord avec son objet. La vérité formelle, en logique, en mathématiques c'est l'accord de l'esprit avec ses propres conventions. La vérité expérimentale c'est la non-contradiction de mes jugements, l'accord et l'identification de mes énoncés à propos d'un donné matériel. On distinguera soigneusement la réalité qui concerne un objet (ce cahier, cette lampe sont réels) et la vérité qui est une valeur qui concerne un jugement. Ainsi le jugement : « ce cahier est vert » est un jugement vrai ou bien un jugement faux. La vérité ou la fausseté qualifient donc non l'objet lui-même mais la valeur de mon assertion. La philosophie, parce qu'elle recherche la vérité, pose le problème de ses conditions d'accès et des critères du jugement vrai.

• mathématique : Ensemble des sciences hypothético-déductives ayant pour objet les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques et topologiques, les fonctions, le calcul intégral et le calcul des probabilités. Les mathématiques se distinguent des sciences naturelles par le fait que leurs objets sont a priori, cad indépendants de l'expérience sensible.

• besoin : Ce qui est nécessaire à l'existence, à la conservation ou au développement d'un être vivant. En dehors des besoins strictement vitaux (boire, manger, dormir), on peut identifier chez l'homme des besoins spirituels et moraux (aimer, être aimé, être reconnu, etc.) dont semble dépendre son épanouissement.

• nature : 1° L'inné par opposition à l'acquis (nature opposée à culture, ou chez les anthropologues anglo-saxons nature opposée à nurture); 2° Essence, ensemble des propriétés qui caractérisent un objet ou un être (la nature de l'homme par exemple); 3° L'ensemble des phénomènes matériels, liés entre eux par des lois scientifiques. En ce sens, le naturel peut s'opposer au surnaturel qui désigne une intervention transcendante de la divinité; 4° Spinoza distingue la nature naturante, c'est-à-dire la substance infinie et la nature naturée, les divers modes par lesquels s'exprime cette substance. Le mot nature est ambigu. Le naturalisme du xviiie siècle par exemple est contradictoire. D'une part son épistémologie réduit la nature à un mécanisme (des faits soumis à des lois nécessaires) indifférent aux valeurs humaines. D'autre part, sa morale prétend se fonder sur la nature, c'est-à-dire sur des tendances spontanées, supposées bonnes; la nature devient alors la Mère-Nature, une sorte de providence bienveillante.

Extrait du corrigé : L'objet étudié par le mathématicien est un monde qu'il se donne et non le monde réel, et les principes qui guident sa recherche valent pour tout monde, et réel et possible. a) Par les définitions, le mathématicien se donne la réalité qui fera l'objet de son étude; par les postulats,. qu'on a justement appelés des définitions déguisées, il détermine les conditions les 'plus générales de l'objet qu'il s'est donné. b) Le levier de la démonstration qui permet de tirer des définitions qui expriment le caractère essentiel de l'objet à étudier d'autres propriétés est le principe d'identité qui s'impose à l'esprit à tel point qu'on ne peut essayer de le mettre en doute qu'en cessant de penser. B. De là il résulte qu'il est impossible et inutile d'observer et d'expérimenter pour vérifier les propositions mathématiques obtenues par déduction : a) impossible, car le monde dont s'occupe le mathématicien n'existe que dans la pensée et les observations faites dans le monde réel ne peuvent rien prouver pour ou contre le monde qu'on s'est donné; b) inutile, car les conclusions des démonstrations mathématiques ne laissent place à aucun doute. Ordinairement, il est vrai, le mathématicien a besoin d'un tableau et d'un morceau de craie. Mais les signes et les figures tracés à la craie sur le tableau noir ne sont pas l'objet qu'il étudie ou sur lequel il expérimente. Ce ne sont que des symboles qui l'aident à maintenir devant son esprit les données du problème. Son raisonnement est essentiellement mental.